E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions :

a. $S=\left[\dfrac{1}{2};4\right]$
b. $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$
c. $S=\emptyset$
d. $S=]-\infty;-4]\cup\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-9)^2-4\times 2\times 4 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{9-\sqrt{49}}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{9+\sqrt{49}}{4}\\
&=4\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=2>0$.
L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des réels $\R$ par $$g(x)=-x^2+4x$$
alors

a. le minimum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
b. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
c. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $2$
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[4 ; +\infty[$

$\quad$

Correction Question 2

$g$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-1<0$.
Elle admet donc un maximum dont l’abscisse est $-\dfrac{b}{2a}=2$.
Ce maximum vaut $f(2)=4$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. La droite passant par le point $A(0 ; -7)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ a pour équation

a. $2x-5y-35=0$
b. $2x-5y+35=0$
c. $-5x-2y+14=0$
d. $5x+2y+14=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite est de la forme $2x-5y+c=0$.
Le point $A(0;-7)$ appartient à la droite. Donc $0-5\times (-7)+c=0\ssi c=-35$.
Une équation de la droite est $2x-5y-35=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $x^2-4x+y^2+6y=12$ est :

a. le point de coordonnées $(5; 1)$
b. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $\sqrt{12}$
c. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$
d. le cercle de centre $B(-2; 3)$ et de rayon $5$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-4x+y^2+6y=12 \\
\ssi~&x^2-2\times 2x+2^2-2^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2=12 \\
\ssi~&(x-2)^2+(y+3)^2=25 \\
\ssi~& (x-2)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2\end{align*}$

L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite d d’équation $2x+3y-1=0$.

a. La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.
c. La droite perpendiculaire à $d$ passant par le point $(-1; 2)$ admet pour équation $3x-2y+1=0$.
d. La droite parallèle à $d$ passant par le point $(2 ; 3)$ admet pour équation $2x+3y+13=0$.

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal à la droite $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$. Donc $\vect{AB}=2\vec{n}$.
La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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