E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$, où $x$ est un nombre réel, est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};1\right\}$
b. $\emptyset$
c. $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]1;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

$-3x^2+2x+1$ est un polynôme du second degré.
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times (-3)\times 1\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{-6}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{-6}\\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+2x+1>0$ est donc $\left]-\dfrac{1}{3};1\right[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère $\Oij$.
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par le point $A$ de coordonnées $(-1 ; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$ est :

a. $-2x+3y+13=0$
b. $-2x-3y-13=0$
c. $2x-3y+13=0$
d. $-2x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{v}$ de coordonnées $(3 ; -2)$.
Par conséquent une équation cartésienne de $(d)$ est de la forme $-2x-3y+c=0$
Le point $A(-1;5)$ appartient à la droite $(d)$.
Ainsi $2-15+c=0 \ssi c=13$
Une équation cartésienne de $(d)$ est $-2x-3y+13=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
La fonction dérivée de $f$ est définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ par :

a. $f'(x)=\dfrac{5}{(x-2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{3x-6}{(x-2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $] -\infty; 2[\cup]2; +\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)\times 1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
&=\dfrac{-5}{(x-2)^2}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout nombre réel $x$, une expression simplifiée de $\dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}$ est :

a. $\e^{-4x+1}$
b. $\e^{x^2-6x+1}$
c. $\e^{x^2+4x+1}$
d. $\e^{-x^3+x^5-5x}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}&=\dfrac{\e^{2x}\times \e^{-x+1}}{\e^{5x}}\\
&=\e^{2x-x+1-5x} \\
&=\e^{-4x+1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La fonction $f$ est définie pour tout $x$ réel par $f(x)=\e^x\left(3\e^x-1\right)$.
La fonction dérivée de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :

a. $f'(x)=\e^x\left(3\e^x\right)$
b. $f'(x)=6\e^{2x}-\e^x$
c. $f'(x)=3\e^{2x}-\e^x$
d. $f'(x)=3\left(\e^x\right)^2-1$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x\left(3\e^x-1\right)+e^x\times 3\e^x\\
&=3\e^{2x}-\e^x+3\e^{2x} \\
&=6\e^{2x}-\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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