QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que :

a. $ \cos(x) = \sin(x)$
b. $\cos(\pi-x) = \cos(\pi + x)$
c. $\sin(\pi + x) = \sin(\pi-x)$
d. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Les solutions dans l’intervalle $[0;2\pi[$ de l’équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont :

a. $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$
b. $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Seules les réponses a. et d. vérifient $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mais les valeurs de d. n’appartiennent pas à $[0;2\pi[$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère $ABCD$ un carré direct dans lequel on construit un triangle $ABE$ équilatéral direct.

On note $AB = a$.
On peut alors affirmer que :

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}a^2$
b. $\vect{AB}.\vect{AD}=a^2$
c. $\vect{AB}.\vect{AE}=\dfrac{1}{2}a^2$
d. $\vect{AD}.\vect{DC}=-a^2$

$\quad$

Correction Question 3

$B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ donc $\vect{AB}.\vect{AC}=a^2$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont orthogonaux donc $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.
$\vect{AD}$ et $\vect{DC}$ sont orthogonaux donc $\vect{AD}.\vect{DC}=0$.
Le projeté orthogonal de $E$ sur $[AB]$ est le milieu de $[AB]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=a\times \dfrac{1}{2}a \\
&=\dfrac{1}{2}a^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On peut affirmer que :

a. $\vec{u}.\vec{v}=0$
b. $\vec{u}.\vec{v}=-\vec{v}.\vec{u}$
c. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\norme{\vec{u}}$
d. $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}-\norme{\vec{u}}-\norme{\vec{v}}\right)$
c’est-à-dire $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $n$ un entier naturel.
On cherche à exprimer en fonction de $n$ la somme suivante :
$$S=1-2+4-8+16-32+\ldots+(-2)^n$$
On peut affirmer que :

a. $S=\dfrac{1+(-2)^n}{2}\times (n-1)$
b. $S$ est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison $(-2)$
c. $S=\dfrac{1-(-2)^n}{1-2}$
d. $S=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)$

$\quad$

Correction Question 5

$S$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et raison $-2$.
Ainsi :
$\begin{align*} S&=1\times \dfrac{1-(-2)^{n+1}}{1-(-2)} \\
&=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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