E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}=$

a. $\e^{3x+2}$
b. $\e^{3x-2}$
c. $\e^{2,5x-2,5}$
d. $\e^{7x-2}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}&=\e^{5x-(2x-2)} \\
&=\e^{5x-2x+2} \\
&=\e^{3x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2.

Soit la suite définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-2\text{  ;   pour }n\in \N\end{cases}$.

a. $u_3=7$
b. $u_3=10$
c. $u_3=28$
d. $u_3=4$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} u_1&=3u_0-2\\
&=3\times 2-2\\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=3u_1-2\\
&=3\times 4-2\\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=3u_2-2\\
&=3\times 10-2\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un atelier $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On constate qu’au cours du contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans $95\%$ des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans $98\%$ des cas.
La probabilité qu’une pièce soit refusée est égale à :

a. $0,077~9$
b. $0,029~4$
c. $0,048~5$
d. $0,98$

$\quad$

Correction Question 3

On considère les événements :

  • $D$ : « la pièce est défectueuse »
  • $R$ : « la pièce est refusée »

On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

$D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(D\cap R)+P\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=0,03\times 0,98+0,97\times 0,05\\
&=0,077~9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Sachant que $\cos x=\dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est :

a. $\dfrac{8}{13}$
b. $-\dfrac{8}{13}$
c. $\dfrac{12}{13}$
d. $-\dfrac{12}{13}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

On sait que $\cos x=\dfrac{5}{13}$
Par conséquent :
$\begin{align*} &\ssi \cos^2 x+\sin^2 x=1 \\
\ssi ~&\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\dfrac{25}{169}+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\sin^2x=\dfrac{144}{169} \\
\ssi~&\sin x=\dfrac{12}{13} \text{ ou } \sin x=-\dfrac{12}{13}\end{align*}$

On sait que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$. Donc $\sin x<0$.

Ainsi $\sin x=-\dfrac{12}{13}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs }x_i&-2&0&5\\
\hline
p_i=P\left(X=x_i\right)&0,3&0,5&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

a. $3$
b. $0,9$
c. $0,4$
d. $0,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,3+0\times 0,5+5\times 0,2\\
&=0,4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence