E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à :

a. $\sin x$
b. $-\sin x$
c. $\cos x$
d. $-\cos x$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(7\pi-x)&=\sin(2\times 3\pi+\pi-x)\\
&=\sin(\pi-x)\\
&=\sin(x)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ es-til égal à $6$ ?

a. $ABC$ est un triangle tel que : $AB= 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$.
b. Dans un repère orthonormé du plan : $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$.
c. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $AB=3$ et $BC= 2$ .
d. $ABC$ est un triangle tel que : $AB = 6$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=30$°.

$\quad$

Correction Question 2

Si $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$ alors $\vect{AB}\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=-5\times (-4)+(-7)\times 2\\
&=6\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{3}{2x}$
b. $\dfrac{9x^2+8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
c. $\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
d. $9x^2+8x+3$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-(3x+4)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{3x^2+3-6x^2-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
&=\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
L’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-10x+6y+30=0$ est :

a. une droite
b. une parabole
c. un cercle
d. ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}&x^2+y^2-10x+6y+30=0 \\
\ssi~&x^2-2\times 5x+5^2-5^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2+30=0\\
\ssi~&(x-5)^2+(y+3)^2=4\end{align*}$
Il s’agit donc d’un cercle de centre $A(5;-3)$ et de rayon $2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La somme $1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30}$ est égale à :

a. $\dfrac{1-5^{30}}{4}$
b. $\dfrac{5^{30}-1}{4}$
c. $\dfrac{1-5^{31}}{4}$
d. $\dfrac{5^{31}-1}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30} \\
&=\dfrac{1-5^{31}}{1-5} \\
&=\dfrac{5^{31}-1}{4}\end{align*}$

Réponde d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence