E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre qui correspond à la réponse choisie.

Question 1

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $AB = 2$ ; $AC = \sqrt{3}$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{5\pi}{6}$.
Alors $\vect{AB}.\vect{AC}=$

a. $2\sqrt{3}$
b. $3$
c. $-2\sqrt{3}$
a. $-3$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=2\sqrt{3}\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
&=2\sqrt{3}\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $a$ un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}\sin(a)\\\cos(a)\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-\cos(a)\\\sin(a)\end{pmatrix}$. Alors $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à

a. $\sin^2(a)+\cos^2(a)$
b. $1$
c. $\sin^2(a)-\cos^2(a)$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\sin(a)\times \left(-\cos(a)\right)+\cos(a)\times \sin(a) \\
&=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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Question 3

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A(2;8)$, $B\left(\dfrac{25}{3};0\right)$, $C(7;5-5)$ et $D(3;0)$.
Alors, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont :

a. parallèles
b. perpendiculaires
c. sécantes
d. confondues

$\quad$

Correction Question 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}\dfrac{19}{3}\\-8\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-4;5\end{pmatrix}$

det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=\dfrac{19}{3}\times 5-(-8)\times (-4)\neq 0$ : les droites ne sont donc ni confondues, ni parallèles.

$\vect{AB}.\vect{CD}=\dfrac{19}{3}\times (-4)+(-8)\times 5\neq 0$ : les droites ne sont pas perpendiculaires.

Elles sont donc sécantes.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\dfrac{3}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans ce repère. L’équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-3x+6$
b. $y=-3x$
c. $y=3x$
d. $y=3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable pour tout $x\neq 0$.
On a alors $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=3$ et $f'(1)=-3$.
Une équation de la tangente est donc $y=-3(x-1)+3$ soit $y=-3x+6$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’équation $x^2=6x-5$ est :

a. $S=\left\{1;5\right\}$
b. $S=\left\{1\right\}$
c. $S=\emptyset$
d. $S=\left\{-5;-1\right\}$

$\quad$

Correction Question 5

$x^2=6x-5\ssi x^2-6x+5=0$
Le discriminant associé à cette équation du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=(-6)^2-4\times 1\times 5\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Les deux solutions réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2}\\
&=-5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2} \\&=-1\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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