QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Soit la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=\left(x^2+x+1\right)(x-1)$.
L’équation $P(x)=0$ :

a. n’a pas de solution sur $\R$
b. a une unique solution sur $\R$
c. a exactement deux solutions sur $\R$
d. a exactement trois solutions sur $\R$

$\quad$

Correction Question 1

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $P(x)=0 \ssi x^2+x+1=0$ ou $x-1=0$

$x-1=0 \ssi x=1$
Le discriminant de $x^2+x+1$ est :
$\begin{align*}
\Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$
Ce polynôme ne possède donc pas de racine.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(7x-23)\left(\e^x+1\right)$.
L’équation $f(x)=0$ :

a. admet $x=1$ comme solution
b. admet deux solutions sur $\R$
c. admet $x=\dfrac{23}{7}$ comme solution
d. admet $x=0$ comme solution

$\quad$

Correction Question 2

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.

Donc $f(x)=0 \ssi 7x-23=0$ ou $\e^x+1=0$
$7x-23=0 \ssi 7x=23\ssi x=\dfrac{23}{7}$
La fonction exponentielle est strictement positive donc $\e^x+1>1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le cercle de centre $A(-4;2)$ et de rayon $r=\sqrt{2}$ a pour équation :

a. $(x+4)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}$
b. $(x-4)^2+(y-2)^2=4$
c. $(x+4)^2+(y-2)^2=2$
d. $(x-4)^2+(y+2)^2=2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-4)\right)^2+(y-2)^2=\sqrt{2}^2$ soit $(x+4)^2+(y-2)^2=2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(m+1;-1)$ et $\vec{v}(m ; 2)$ où $m$ est un réel.
Une valeur de $m$ pour laquelle les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux est :

a. $m=-\dfrac{2}{3}$
b. $m=-2$
c. $m=2$
d. $m=-1$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi (m+1)m-2=0$
$\ssi m^2+m-2=0$

Le discriminant du polynôme du second degré $x^2+x-2$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-2)\\
&=9\\
&>0\end{align*}$

Les racines de ce polynômes sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}\\
&=-2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}\\
&=1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $A(-2 ; 5)$ et admettant pour vecteur normal $\vec{v}(-1 ; 3)$ est :

a. $-x+3y+7=0$
b. $x-3y+17=0$
c. $-3x-y-1=0$
d. $-x-3y+13=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c=0$.
Le point $A(-2;5)$ appartient à $D$ donc $2+15+c=0 \ssi c=-17$
Une équation cartésienne de $D$ est donc $-x+3y-17=0$.
En multipliant les deux membres de cette équation par $-1$ on obtient $x-3y+17=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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