E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est :

a. $]-\infty;-1[\cup\left[-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
b. $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
d. $\left[\dfrac{1}{3};1\right]$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 3\times 1 \\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{4-\sqrt{4}}{6} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{4+\sqrt{4}}{6} \\
&=1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$ donc L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a+2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\a\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si :

a. $a(a+2)-3=0$
b. $a(a+2)+3=0$
c. $3(a+2)-a=0$
d. $3(a+2)+a=0$

$\quad$

Correction Question 2

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi 3(a+2)+(-1)\times a=0$
$\ssi 3(a+2)-a=0$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A (-2; 3)$ et le vecteur $\vec{u}(1; 2)$. Une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{u}$ est :

a. $-2x+y-7=0$
b. $x+2y-4=0$
c. $x-2y+8=0$
d. $2x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 3

$\vec{u}(1; 2)$ est un vecteur normal à la droite $d$.
Une équation cartésienne de cette droite est donc de la forme $x+2y+c=0$
Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite. Donc $-2+6+c=0\ssi c=-4$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $x+2y-4=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$, géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.
La somme $u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :

a. $3\left(2^{11}-1\right)$
b. $3\left(1-2^{11}\right)$
c. $3\left(2^{10}-1\right)$
d. $3\left(1-2^{10}\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} S&=u_0 + u_1 + \ldots + u_{10} \\
&=3\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \\
&=-3\left(1-2^{11}\right)\\
&=3\left(2^{11}-1\right)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
La fonction dérivée de $f$ sur $]1;+\infty[$ a pour expression :

a. $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x>1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times (x-1)-1\times (2x+1)}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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