QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un aéroport.
On a représenté ci-dessous un arbre de probabilités lié à certains évènements dont certains éléments ont été effacés.

On considère les événements suivants :

$A$ : « le passager parle anglais »
$B$ : « le passager ne parle pas anglais »
$E$ : « le passager est un membre de l’Union Européenne »

a. $P_B(E)=0,12$
b. $P(E)=0,42$
c. La probabilité que le passager choisi soit européen et ne parle pas anglais est $0,3$.
d. $P(A\cup B)=1,1$

$\quad$

Correction Question 1

D’après l’arbre de probabilité on a $P_A(E)=0,5$ et $P(B)=0,4$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\
&=0,6\times 0,5+0,4\times 0,3\\
&=0,42\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit $D$ la droite d’équation $3x + y-2 = 0$.

a. Le point de coordonnées $(6 ; −15)$ appartient à $D$.
b. $D$ est perpendiculaire à la droite d’équation $12x + 4y = 0$.
c. Le vecteur de coordonnées $(1 ; 3)$ est un vecteur directeur de $D$.
d. Le vecteur de coordonnées $(3 ; 1)$ est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à $D$.

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à la droite $D$ est $\vec{n}(3;1)$.
C’est donc un vecteur directeur de toutes les droites perpendiculaires à la droite $D$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère dans l’ensemble des réels l’équation trigonométrique $\sin x = 1$.

a. Cette équation admet une unique solution dans l’ensemble des réels.
b. Cette équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble des réels.
c. $2\pi$ est une solution de cette équation.
d. $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation.

$\quad$

Correction Question 3

L’ensemble des solutions de l’équation $\sin x=1$ est l’ensemble des réels $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in \Z$.
L’équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble des réels.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La courbe $C$ n’admet pas de tangente au point d’abscisse $0$.
b. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x$.
c. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour coefficient directeur $1$.
d. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2-4x^2 }{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2} \end{align*}$
Ainsi $f'(0)=2$
Or $f(0)=0$
Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=2(x-0)+0$ soit $y=2x$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$$
$f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ et pour tout réel $x$ de$]-2; +\infty[$, on a :

a. $f'(x)=1$
b. $f'(x)=\dfrac{2x-1}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2x-1$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]-2;+\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times (x+2)-1\times (x-3)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{x+2-x+3}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence