E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$°C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0= 1~000$.
La température $T_n$ est calculée grâce à l’algorithme suivant :$$\begin{array}{|l|}
\hline
T  \leftarrow 1~000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{0.5cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
    $\quad$
  2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  4. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$°C. Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\ldots :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T= }\ldots\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $0,82\times 1~000+3,6=823,6$
    Ainsi $T_1=823,6$.
    La température du four après une heure de refroidissement est $823,6$°C.
    $\quad$
  2. D’après l’algorithme, pour tout entier naturel $n$, on a $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} T_2&=0,82T_1+3,6\\
    &=678,952\end{align*}$
    $\begin{align*} T_3&=0,82T_2+3,6\\
    &\approx 560\end{align*}$
    $\begin{align*} T_4&=0,82T_3+3,6\\
    &\approx 463\end{align*}$
    La température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement est $463$°C.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\text{ T>}\textcolor{Green}{70} :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T=}\textcolor{Green}{0.82}\times \text{T +}\textcolor{Green}{3.6}\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Voici les premières valeurs prises par $T_n$, arrondies au centième.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& T_n\\ \hline
    0& 1000\\ \hline
    1& 823,6\\ \hline
    2& 678,95\\ \hline
    3& 560,34\\ \hline
    4& 463,08\\ \hline
    5& 383,33\\ \hline
    6& 317,93\\ \hline
    7& 264,30\\ \hline
    8& 220,33\\ \hline
    9& 184,27\\ \hline
    10& 154,70\\ \hline
    11& 130,45\\ \hline
    12& 110,57\\ \hline
    13& 94,27\\ \hline
    14& 80,90\\ \hline
    15& 69,94\\ \hline
    \end{array}$
    On peut donc ouvrir le four sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
    $\quad$

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$\quad$

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