E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre $8\%$ des colonies chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{C = 300}\\
    \hspace{1cm} \text{N = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while C < 400 :}\\
    \hspace{1.5cm} \text{C = C*0.92+50}\\
    \hspace{1.5cm} \text{N = N+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return (N)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
    reproduit l’avancement du programme pas à pas :
    Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
    \hline
    \text{C}&300&326&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $\text{N}$ renvoyée par le programme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 $+ 𝑛$ .

Ainsi $C_0= 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $$C_{n+1}=0,92C_n+50$$

  1. La suite $\left(C_n\right)$ est-elle arithmétique? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. On admet que $C_n=625-325\times 0,92^n$ pour tout entier naturel $n$.
    L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{C}&300&326&350&372&392&411\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie la valeur $5$.
    Cela signifie que l’apiculteur doit attendre $5$ ans pour avoir au moins $400$ colonies d’abeilles.
    $\quad$
  2. On a $C_0=300$
    $\begin{align*} C_1&=0,92C_0+50\\
    &=0,92\times 300+50\\
    &=326\end{align*}$
    $\begin{align*} C_2&=0,92C_1+50\\
    &=0,92\times 326+50\\
    &=349,92\end{align*}$
    Ainsi $C_1-C_0=26$ et $C_2-C_1=23,92$.
    Ces différences ne sont pas égales : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{C_1}{C_0}\approx 1,087$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\approx 1,073$.
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $325\times 0,92^n>0$.
    Donc $C_n<625$.
    L’apiculteur ne pourra pas atteindre $700$ colonies.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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