E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une banque propose un placement. Le compte est rémunéré et rapporte $5 \%$ par an. La banque prend des frais de gestion qui se montent à $12$ euros par an.

Ainsi, chaque année la somme sur le compte augmente de $5 \%$ puis la banque prélève $12$ euros.

Noémie place la somme de $1~000$ euros dans cette banque.

On appelle $u_n$ la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $n$ années, où $n$ désigne un entier naturel.

On a donc $u_0 = 1~000$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 1,05 u_n-12$.

  1. Avec un tableur on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :

    a.     Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $B3$ avant de l’étirer pour obtenir ces résultats ?
    $\quad$
    b. En utilisant les valeurs calculées de la suite, indiquer à Noémie combien de temps elle doit attendre pour que son placement lui rapporte $20 \%$.
    $\quad$

On pose $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-240$.

  1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
  2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
    $\quad$
  3. Calculer à partir de cette dernière formule la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $20$ ans de placement.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a pu saisir la formule $=B2*1.05-12$
    $\quad$
    b. $1~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=1~200$.
    Elle doit donc attendre $5$ ans avant que son placement lui rapporte $20\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240\ssi u_n=v_n+240$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240\\
    &=1,05u_n-12-240\\
    &=1,05u_n-242\\
    &=1,05\left(v_n+240\right)-242\\
    &=1,05v_n+242-242\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    Son premier terme est :
    $\begin{align*} v_0&=u_0-240\\
    &=1~000-240\\
    &=760\end{align*}$
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=760\times 1,05^n$ et
    $\begin{align*} u_n&=v_n+240\\
    &=760\times 1,05^n+240\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} u_{20}&=760\times 1,05^{20}+240\\
    &\approx 2~256,51\end{align*}$
    À partir de cette dernière formule Noémie disposera après 20 ans de placement d’environ $2~256,51$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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