E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.
La première injection est de $10$ ml, puis toutes les heures on lui en injecte $1$ ml.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang en prenant le
modèle suivant :

  • on estime que $20 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure ;
  • pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la quantité de médicament en ml présente dans le sang au bout de $n$ heures.

Ainsi, $U_0=10$.

  1. Justifier que $U_1=9$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=0,8U_n+1$.
    $\quad$

On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite $\left(U_n\right)$ :

  1. Conjecturer la limite de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
    On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm}\text{U}\leftarrow 10\\
    \hspace{1cm}\text{N}\leftarrow 0\\
    \hspace{1cm}\text{Tant que U>5,1 faire} \hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm}\text{U$\leftarrow 0,8$*U+1}\\
    \hspace{2cm}\text{N$\leftarrow$ N+1}\\
    \hspace{2cm}\text{Fin du tant que}\\
    \hspace{2cm}\text{Afficher N}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. À quoi cet algorithme sert-il ?
    $\quad$
  3. À l’aide de l’extrait du tableau de valeurs de la suite $\left(U_n\right)$ donné ci-dessous, donner la valeur de $\text{N}$ à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\
    \hline
    U_n& 5,838861& 5,671089& 5,536871& 5,429497& 5,343597& 5,274878& 5,219902\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21\\
    \hline
    U_n& 5,175922& 5,140737& 5,11259\phantom{0}& 5,090072& 5,072058& 5,057646& 5,046117\\
    \hline
    \end{array}$
    $\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
    n& 22& 23& 24& 25& 26& 27& 28\\
    \hline
    U_n& 5,036893& 5,029515& 5,023612& 5,018889& 5,015112& 5,012089& 5,009671\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} U_1&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_0+1\\
    &=0,8\times 10+1\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)U_n+1\\
    &=0,8\times U_n+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il semblerait que la limite de la suite $\left(U_n\right)$ soit $5$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n\pp 5,1$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de valeurs, la variable $\text{N}$ contiendra, à l’issue de l’exécution de l’algorithme, la valeur $18$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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