E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La famille A décide de diminuer de $2 \%$ par mois sa quantité de déchets produite par mois à partir du 1$\ier$ janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$ kg de déchets.

  1. Justifier qu’au bout de $2$ mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l’année.
On modélise l’évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.
Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

  1. a. Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer 𝑎𝑛 en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l’année 2020.
    On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
    On rappelle que :
    Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$, $q\neq 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S=u_1+u_2+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
    $\quad$
    d. On donne le programme ci-dessous.
    $$\begin{array}{ll}
    \textcolor{Emerald}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{S(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{2}& \hspace{0.5cm}\text{U=}\textcolor{Green}{120}\\
    \textcolor{Emerald}{3}& \hspace{0.5cm}\text{S=}\textcolor{Green}{0}\\
    \textcolor{Emerald}{4}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{5}& \hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{Green}{0.98}\text{*U}\\
    \textcolor{Emerald}{6}& \hspace{1cm}\text{S=S+U}\\
    \textcolor{Emerald}{7}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{(S)}\\
    \textcolor{Emerald}{8}&\end{array}$$
    Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l’instruction $\text{S(6)}$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le premier mois elle a produit $120\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=117,6$ kg de déchets.
    Le deuxième mois elle a produit $117,6\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=115,248$ kg de déchets.
    Au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)an\\
    &=0,98a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $a_0=120$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=120\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=a_1+a_2+\ldots+a_{12} \\
    &=a_1\times \dfrac{1-0,98^{13}}{1-0,98}\\
    &=117,6\times \dfrac{1-0,98^{13}}{0,02}\\
    &\approx 1~358\end{align*}$
    La famille produira donc environ $1~358$ kg de déchets durant l’année 2020.
    $\quad$
    d. Cette instruction fournit la quantité totale de déchets produits par la famille sur les $6$ premiers mois de l’année 2020.
    $\quad$

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$\quad$

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