E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

D’après l’ADEME (Agence De l’Environnement et de la Maîtrise de l’Énergie), chaque français a produit une masse moyenne de $365$ kg de déchets ménagers en 2018.
Un maire, étant informé que la masse moyenne de déchets ménagers dans sa commune en 2018 était de $400$ kg par habitant, décide d’une campagne annuelle de sensibilisation au recyclage qui conduit à une réduction de cette production de $1,5 \%$ par an, et cela dès l’année 2019.
On modélise alors la masse moyenne de déchets ménagers par habitant calculée en fin d’année dans cette commune par une suite $\left(d_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $d_n$ correspond à la masse moyenne de déchets ménagers par habitant, en kg, pour l’année 2018$+n$. Ainsi, $d_0= 400$.

  1. Prouver que $d_1 = 394$. Interpréter ce résultat.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la nature de la suite $\left(d_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. a. D’après le tableau de valeurs suivant, en quelle année la masse moyenne de déchets ménagers par habitant deviendra-t-elle inférieure à $365$ kg ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 0& 1& 2& 3& 4&5& 6& 7& 8\\
    \hline
    d_n& 400& 394& 388,09& 382,27& 376,53& 370,89& 365,32& 359,84& 354,45\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Écrire une fonction Python qui retourne l’année à laquelle la masse moyenne de déchets ménagers par habitant de la commune devient inférieure à $365$ kg.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right) d_0\\
    &=0,985\times 400\\
    &=394\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right) d_n\\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=400$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=400\times 0,985^n$.
    $\quad$
  3. a. On a $d_6>365$ et $d_7<365$.
    C’est donc à partir de l’année 2025 que la masse moyenne de déchets ménagers par habitant deviendra inférieure à $365$ kg.
    $\quad$
    b. On peut saisir le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def dechet(m):}\\
    \hspace{0.5cm}\text{d = 400}\\
    \hspace{0.5cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while d > m:}\\
    \hspace{1cm}\text{d = d*0.985}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return (2018+n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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