E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de $537$ kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de $1,5 \%$ par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produit par habitant de cette ville durant l’année 2019$+n$, on a donc $d_0 = 537$.

  1. Montrer par un calcul que $d_1= 0,985 \times d_0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ .
    $\quad$
  3. En déduire la nature de la suite $\left(d_n\right)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ .
    $\quad$
  4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir $513$ kg. Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>\ldots:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=\ldots}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_0 \\
    &=0,985\times d_0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_n \\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=537$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=537\times 0,985^n$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>}\textcolor{Emerald}{\text{513}}\textcolor{Maroon}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=} \text{d}\textcolor{Maroon}{*}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les premiers termes de la suite $\left(d_n\right)$ arrondis au dixième.
    $d_0=537$, $d_1\approx 528,9$, $d_2\approx 521,0$, $d_3\approx 513,2$ et $d_4\approx 505,5$.
    C’est donc à partir de l’année 2023 que la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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