E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles.
Au début du parcours, ce personnage est doté de $1~000$ pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.
Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.
Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.

  1. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    On note $u_n$ le nombre de pions blancs obtenus au bout de $n$ minutes de jeu.
    Ainsi $u_0 = 0$.
    Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de $2 \%$ par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entrainement.
    On note $v_n$ le nombre de pions noirs restant à la $n$-ième minute.
    Ainsi $v_0 = 1~000$.
    a. Justifier que $v_1 = 980$.
    $\quad$
    b. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $v$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous.
    Les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ont été arrondis à l’unité.
    Lucas peut-il gagner la partie ?

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+10$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $10$ et de premier terme $u_0=0$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=10n$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_1&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)v_0 \\
    &=0,98\times 1~000\\
    &=0,980\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=1~000$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1~000\times 0,98^n$.
    $\quad$
  3. On a donc $u_{45}=450$ et $v_{45}=419$
    Au bout de $45$ minutes, le nombre de pions blancs est bien supérieur au nombre de pions noirs.
    Lucas peut donc gagner la partie.
    $\quad$

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$\quad$

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