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E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f_0=c_0=2~500$.

Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
$\quad$
Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
$\quad$
Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
On rappelle que :
- Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
- Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
&=2~500+108\\
&=2~608\end{align*}$
L’entreprise a produit $2~608$ flacons en février 2020.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
&=1,038\times 2~500\\
&=2~595\end{align*}$
$2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
$\quad$
$\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
&=1,038\times c_n\end{align*}$
La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while c<=f :}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
\hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La production globale sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
&=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
&=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
&=37~128\end{align*}$
Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
&=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
&\approx 37~136\end{align*}$
Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
$\quad$

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$\quad$

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