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E3C2 – 1ère

En France métropolitaine, 2018 a été l’année la plus chaude d’après les relevés météorologiques. La température moyenne y a été de $14$ °C; elle a dépassé de $1,4$ °C la normale de référence calculée sur la période 1981-2010. (Source : site Météo France)

Pour modéliser la situation, on considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette hausse moyenne de 1,4°C par an se poursuit chaque année. Pour tout entier
naturel $n$, on note alors $T_n$ la température moyenne annuelle en France pour l’année 2018$+n$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(T_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
$\quad$
b. On considère qu’au-delà d’une température moyenne de $35$°C les corps ne se refroidissent pas et il devient insupportable pour les humains de continuer à habiter cette région que l’on qualifie alors d’inhabitable. Selon le modèle considéré, en quelle année la France deviendrait-elle inhabitable pour les humains ? Justifier.
$\quad$
À cause du réchauffement climatique, certaines régions risquent de connaître une baisse de $10 \%$ par an des précipitations moyennes annuelles mesurées en millimètres (mm).
Dans une région du nord de la France, les précipitations moyennes annuelles étaient de $673$ mm en 2018. On considère l’année 2018 comme l’année zéro et on suppose que cette baisse de $10 \%$ par an se poursuit chaque année. Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ les
précipitations annuelles moyennes en mm dans cette région pour l’année 2018$+n$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ainsi définie ? On donnera son premier terme et sa raison.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. On donne le programme Python suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def precipitations(J):}\\
\hspace{0.5cm}\text{I=673}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while I > J:}\\
\hspace{1cm}\text{I = 0.9*I}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n+2018}\end{array}$$
L’exécution de « $\text{precipitations(300)}$ » renvoie la valeur $\text{2026}$ . Que représente cette valeur pour le problème posé ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $T_{n+1}=T_n+1,4$.
La suite $\left(T_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1,4$ et de premier terme $T_0=14$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $T_n=14+1,4n$.
On veut par résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} T_n>35 &\ssi 14+1,4n>35 \\
&\ssi 1,4n>21 \\
&\ssi n>15\end{align*}$
Selon ce modèle, c’est à partir de l’année 2034 que la France deviendrait inhabitable pour les humains.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)P_n\\
&=0,9P_n\end{align*}$
La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $P_0=673$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=673\times 0,9^n$.
$\quad$
c. Selon ce modèle c’est à partir de l’année 2026 que les précipitations moyennes annuelles seront inférieures ou égales à $300$ mm.
$\quad$

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$\quad$

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