E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice et si cela est nécessaire, les résultats seront arrondis à $0,1$.

Le graphique ci-dessous illustre l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France entre 2015 et 2018.

  1. On cherche à modéliser l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide d’une suite. On hésite entre deux modèles :
    •  Premier modèle : on fait l’hypothèse que ce nombre augmente de $21 \%$ par an. On définit alors une suite $\left(u_n\right)$ où, selon ce modèle, $u_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$ avec $n\in \N$. Ainsi, on a $𝑢_0 = 17,3$.
    • Second modèle : on définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_0= 17,3$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,7v_n + 10$. D’après ce modèle et pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$.
      a. Donner les valeurs des réels $u_1$, $u_2$, $u_3$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
      $\quad$
      b. Des deux modèles, lequel apparaît le mieux adapté pour modéliser à l’aide d’une suite l’évolution du nombre de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 donnée dans le graphique ? Argumenter.
      $\quad$
  2. Dans ce qui suit, on choisit de modéliser le nombre de voitures immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie dans la question 1.
    a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. On considère l’algorithme en langage Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u=17.3}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while u<50:}\\
    \hspace{1cm}\text{u=1.21*u}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur de la variable $\text{n}$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{21}{100}\right)\times u_0\\
    &=1,21\times 17,3\\
    &= 20,933\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=1,21u_1\\
    &\approx 25,3\end{align*}$
    $\begin{align*} u_3&=1,21u_2\\
    &\approx 30,6\end{align*}$
    $\begin{align*} v_1&=0,7v_0+10\\
    &=22,11\end{align*}$
    $\begin{align*} v_2&=0,7v_1+10\\
    &=25,477\end{align*}$
    $\begin{align*} v_3&=0,7v_2+10\\
    &\approx 27,8\end{align*}$
    $\quad$
    b. $u_3$ est plus proche de $31,1$ que $v_3$ et $u_2$ est plus proche de $24,9$ que $v_2$.
    Le premier modèle apparaît mieux adapté que le second.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,21u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,21$ et de premier terme $u_0=17,3$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=17,3\times 1,21^n$.
    $\quad$
    c. Voici les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ arrondie à $0,1$
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& u_n \\ \hline
    0 &17,3\\ \hline
    1 &20,9\\ \hline
    2 &25,3\\ \hline
    3 &30,6\\ \hline
    4 &37,1\\ \hline
    5 &44,9\\ \hline
    6 &54,3\\ \hline
    \end{array}$
    La variable $\text{n}$ contiendra donc la valeur $6$.
    Il s’agit du nombre d’années nécessaires pour que le nombre de véhicules électriques immatriculés en France soit supérieur ou égal à $50~000$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence