Suites

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice et si cela est nécessaire, les résultats seront arrondis à $0,1$.

Le graphique ci-dessous illustre l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France entre 2015 et 2018.

On cherche à modéliser l’évolution du nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide d’une suite. On hésite entre deux modèles :
- Premier modèle : on fait l’hypothèse que ce nombre augmente de $21 \%$ par an. On définit alors une suite $\left(u_n\right)$ où, selon ce modèle, $u_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$ avec $n\in \N$. Ainsi, on a $𝑢_0 = 17,3$.
- Second modèle : on définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_0= 17,3$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,7v_n + 10$. D’après ce modèle et pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre (en milliers) de voitures électriques immatriculées en France l’année 2015 $+ n$.
  a. Donner les valeurs des réels $u_1$, $u_2$, $u_3$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
  $\quad$
  b. Des deux modèles, lequel apparaît le mieux adapté pour modéliser à l’aide d’une suite l’évolution du nombre de voitures électriques immatriculées en France à compter de l’année 2015 donnée dans le graphique ? Argumenter.
  $\quad$
Dans ce qui suit, on choisit de modéliser le nombre de voitures immatriculées en France à compter de l’année 2015 à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie dans la question 1.
a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. On considère l’algorithme en langage Python ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=17.3}\\
\text{n=0}\\
\text{while u<50:}\\
\hspace{1cm}\text{u=1.21*u}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur de la variable $\text{n}$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{21}{100}\right)\times u_0\\
&=1,21\times 17,3\\
&= 20,9\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=1,21u_1\\
&\approx 25,3\end{align*}$
$\begin{align*} u_3&=1,21u_2\\
&\approx 30,6\end{align*}$
$\begin{align*} v_1&=0,7v_0+10\\
&=22,1\end{align*}$
$\begin{align*} v_2&=0,7v_1+10\\
&=25,5\end{align*}$
$\begin{align*} v_3&=0,7v_2+10\\
&\approx 27,8\end{align*}$
$\quad$
b. $u_3$ est plus proche de $31,1$ que $v_3$ et $u_2$ est plus proche de $24,9$ que $v_2$.
Le premier modèle apparaît mieux adapté que le second.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,21u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,21$ et de premier terme $u_0=17,3$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=17,3\times 1,21^n$.
$\quad$
c. Voici les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ arrondie à $0,1$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
n& u_n \\ \hline
0 &17,3\\ \hline
1 &20,9\\ \hline
2 &25,3\\ \hline
3 &30,6\\ \hline
4 &37,1\\ \hline
5 &44,9\\ \hline
6 &54,3\\ \hline
\end{array}$
La variable $\text{n}$ contiendra donc la valeur $6$.
Il s’agit du nombre d’années nécessaires pour que le nombre de véhicules électriques immatriculés en France soit supérieur ou égal à $50~000$.
$\quad$

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