E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $2$ de premier terme $u_0 = 0,2$ .

  1. Calculer $u_{18}$ puis $u_{50}$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18}$, c’est-à-dire la somme des $19$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter les trois parties en pointillé de l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $u$ dépasse $100~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
    \qquad U\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad S\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm} \\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Claude a donné $20$ centimes d’euros (soit $0,20$ €) à son petit-enfant Camille pour sa naissance. Ensuite, Claude a doublé le montant offert d’une année sur l’autre pour chaque anniversaire jusqu’aux $18$ ans de Camille.

La somme totale versée par Claude à Camille permet-elle de payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ € ?

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=0,2$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=0,2\times 2^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} u_{18}&=0,2\times 2^{18} \\
    &=52~428,8\end{align*}$
    et :
    $\begin{align*} u_{50}&=0,2\times 2^{50} \\
    &\approx 2,25\times 2^{14}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18} \\
    &=0,2\times \dfrac{1-2^{19}}{1-2} \\
    &=0,2\left(2^{19}-1\right) \\
    &=104~857,4\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } S\pp 100~000\\
    \qquad U\leftarrow 2\times U \\
    \qquad S\leftarrow S + U \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm}\\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Chaque année Camille reçoit donc pour son $n$_ième anniversaire $u_n$ euros où $\left(u_n\right)$ est la suite définie à la partie A.

D’après la question 2. Camille aura donc cumuler $104~857,4$ euros à ses $18$ ans.
Elle pourra se payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ euros.

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