E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, les déchets d’une entreprise sont évalués à $6~000$ tonnes.
Cette entreprise s’engage à réduire ses déchets de $5 \%$ chaque année.

  1. Avec cette politique, quelle quantité de déchets peut envisager l’entreprise pour l’année 2020 ?
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité de déchets produits en tonne par cette entreprise l’année 2019 $n$. Avec cette notation, on a alors $d_0 = 6~000$.
    a. Exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ?
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets produits par l’entreprise entre 2019 et 2023.
    On arrondira le résultat à la tonne près.
    $\quad$
  3. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien d’années d’application de cette politique de réduction des déchets la quantité annuelle produite aura diminué de $40 \%$ par rapport à la quantité produite en 2019.
    Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous sur la copie afin qu’il permette de répondre à la question posée :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D\ldots\ldots\ldots\ldots \hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $6~000\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=5~700$.
    Avec cette politique, l’entreprise peut envisager $5~700$ tonnes de déchets pour l’année 2020.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)d_n\\
    &=0,95d_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $d_0=6~000$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4\\
    &=6~000\times \dfrac{1-0,95^5}{1-0,95} \\
    &\approx 27~146\end{align*}$
    L’entreprise produira environ $27~146$ tonnes de déchets entre 2019 et 2023.
    $\quad$
  3. $6~000\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=3~600$
    On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    D\leftarrow 6000\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }D>3600\hspace{1cm}\\
    \hspace{0.5cm} D\leftarrow 0,95\times D\\
    \hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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