E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un téléphone coûte $600$ euros lors de son lancement. Tous les ans, le fabricant sort une nouvelle version de ce téléphone. Le prix de ce téléphone augmente de $3 \%$ chaque année.

On note $u_n$ le prix du téléphone en euros 𝑛 années après son lancement. On a donc
$u_0 = 600$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter les résultats.
    $\quad$
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$ et en déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
  3. Exprimer, pour tout entier $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter sur la copie la fonction Python ci-dessous pour qu’elle détermine le nombre minimum d’années nécessaires afin que le prix du téléphone dépasse $1~000$ euros.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreAnnees():}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 600}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = $\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Quelle est la valeur de 𝑛 renvoyée par cette fonction Python ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}u_1&=u_0\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=600\times 1,03 \\
    &=618\end{align*}$
    $\begin{align*}u_2&=u_1\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=618\times 1,03 \\
    &=636,54\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=u_n\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
    &=1,03u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=600$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=600\times 1,03^n$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreAnnees():}\\
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 600}\\
    \hspace{1cm}\text{while u <=1000 :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = 1.03*u}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. La raison de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ est $1,03>1$. Cette suite est donc strictement croissante.
    On a $u_{17}\approx 992$ et $u_{18}\approx 1~021$.
    La fonction Python renvoie donc la valeur $18$.
    $\quad$

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$\quad$

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