E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On appelle pourcentage de compression d’une image, le pourcentage de réduction de sa taille en ko (kilo-octets) après compression.
Une image a une taille initiale de $800$ ko. Après une première compression, sa taille est de $664$ ko.

  1. Calculer le pourcentage de réduction associé à cette première compression.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on fixe le pourcentage de réduction à $17\%$.
On effectue $n$ compressions successives. Pour tout entier naturel $n$, on note $t_n$ la
taille de l’image en ko après $n$ compressions.
On a donc $t_0 = 800$.

  1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$ et en déduire la nature de la suite $\left(t_n\right)$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $t_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$

Afin de déterminer le nombre minimal $n$ de compressions successives à effectuer pour que cette image ait une taille finale inférieure à $50$ ko, on considère la fonction Python suivante :

$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombreCompressions(A):}\\
\hspace{1cm}\text{t = 800}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while t > A :}\\
\hspace{2cm}\text{t = t*0.83}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline\end{array}$$

  1. Préciser, en justifiant, le nombre $\text{A}$ de sorte que l’appel $\text{nombreCompressions(A)}$ renvoie le nombre de compressions successives à effectuer que l’on cherche à déterminer.
    $\quad$
  2. Quel est le nombre minimal de compressions successives à effectuer pour que ce fichier ait une taille finale inférieure à $50$ ko ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\dfrac{664-800}{800}=-0,17$.
    Le pourcentage de réduction associé à cette compression est de $17\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{align*}t_{n+1}&=\left(1-\dfrac{17}{100}\right)t_n\\
    &=0,83t_n\end{align*}$
    La suite $\left(t_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,83$ et de premier terme $t_0=800$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $t_n=800\times 0,83^n$.
    $\quad$
  4. On doit choisir $A=50$.
    $\quad$
  5. On veut que $t_n\pp 50$.
    $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,83$.
    $0<0,83<1$ donc cette suite est décroissante.
    On a $u_{14} \approx 58,9$ et $u_{15}\approx 48,9$
    Il faudra donc réaliser au moins $15$ compressions successives pour que le fichier ait une taille finale inférieure à $50$ k0.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence