E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier 2013 et a enregistré $2~500$ inscriptions pour l’année 2013.
Elle estime que, chaque année, $80\%$ des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année suivante et qu’il y aura également $400$ nouveaux adhérents.

Pour tout entier naturel $n$, on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque $n$ années après 2013 par une suite numérique $\left(a_n\right)$ définie par :
$a_0=2~500$ et $a_{n+1}=0,8a_n+400$.

  1. Calculer $a_1$ et $a_2$.
    $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=a_n-2~000$.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n=500\times 0,8^n+2~000$.
    $\quad$
    d. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pp 2010$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} a_1&=0,8a_0+400\\
    &=0,8\times 2~500+400\\
    &=2~400\end{align*}$
    $\begin{align*} a_2&=0,8a_1+400\\
    &=0,8\times 2~400+400\\
    &=2~320\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n=a_n-2~000 \ssi a_n=v_n+2~000$
    $\begin{align*} v_{n+1}=a_{n+1}-2~000 \\
    &=0,8a_n+400-2~000\\
    &=0,8a_n-1~600\\
    &=0,8\left(v_n+2~000\right)-1~600\\
    &=0,8v_n+1~600-1~600\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=a_0-2~000=500$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=500\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+2~000 \\
    &=500\times 0,8^n+2~000\end{align*}$
    $\quad$
    d. Montrons que la suite $\left(a_n\right)$ est décroissante.
    Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=500\times 0,8^{n+1}+2~000-\left(500\times 0,8^n+2~000\right)\\
    &=500\times 0,8^{n+1}-500\times 0,8^n\\
    &=500\times 0,8^n\times (0,8-1)\\
    &=50\times 0,8^n\times (-0,2)\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante.
    On a $a_{17}\approx 2~011,3$ et $a_{18}\approx 2~009,0$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel q ue $a_n\pp 2~010$ est donc $18$.
    Il faut attendre $18$ ans avant que le nombre inscrits soit inférieurs à $2~010$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence