E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À partir d’un premier segment de $2$ mm, on ajoute successivement un nouveau segment mesurant $150 \%$ de la longueur du précédent.

Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on désigne par $u_n$ la longueur, en mm, du $n$-ième segment.
Ainsi $u_1=2$ et $u_2=3$.

  1. Déterminer $u_3$ et $u_4$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On cherche à déterminer à partir de combien de segments la longueur totale dépasse $1$ mètre. On réalise pour cela un programme écrit en langage Python.
    Recopier et compléter sur la copie ce programme pour qu’il affiche le nombre attendu de segments.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{i = 1}\\
    \text{u = 2}\\
    \text{longueur = 2}\\\\
    \text{while longueur < 1000 :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{i = $\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{longueur = $\ldots$}\\\\
    \text{print(i) }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Ce programme affiche $14$.
    Déterminer, par le calcul, la longueur de la spirale formée des $14$ premiers segments.
    Arrondir le résultat au mm.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} u_3&=\dfrac{150}{100}u_2 \\
    &=1,5\times 3 \\
    &=4,5\end{align*}$
    $\begin{align*} u_4&=\dfrac{150}{100}u_3 \\
    &=1,5\times 4,5 \\
    &=6,75\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}=1,5u_n$.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,5$ et de premier terme $u_1=2$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=2\times 1,5^{n-1}$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{i = 1}\\
    \text{u = 2}\\
    \text{longueur = 2}\\\\
    \text{while longueur < 1000 :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{i = i + 1}\\
    \hspace{0.5cm}\text{u = 1.5 * u}\\
    \hspace{0.5cm}\text{longueur = longueur + u}\\\\
    \text{print(i) }\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{14} \\
    &=2\times \dfrac{1-1,5^{14}}{1-1,5} \\
    &\approx 1~164\end{align*}$
    La spirale mesure donc environ $1~164$ mm.
    $\quad$

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$\quad$

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