E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? En préciser les éléments caractéristiques.
    $\quad$
  2. Donner, pour tout entier naturel $n$, une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Calculer la somme $S$ des dix premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
    $\quad$

Partie B. On modélise une suite $\left(w_n\right)$ à l’aide de la fonction suivante écrite en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{terme}}\text{(n):}\\
\hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
\hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{w}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Que renvoie l’exécution de $\text{terme(5) }$?
    $\quad$
  2. En s’inspirant de la fonction $\text{terme(n)}$, proposer une fonction $\text{somme_termes(n)}$, écrite en langage Python, qui renvoie la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=1$.
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ soit $v_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
    $\quad$
  3. On a donc :
    $\begin{align*} S&=v_0+v_1+\ldots+v_9\\
    &=\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}}{1-\dfrac{2}{3}}\\
    &=\dfrac{58~025}{19~683}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient la valeur de $w_5$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&~0~&~1~&~2~&~3~&~4~&~5~\\
    \hline
    w_n&4&5&7&11&19&35\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi $\text{terme(5)}$ renvoie $35$.
    $\quad$
  5. On peut saisir le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{somme_termes}}\text{(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
    \hspace{1cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
    \hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
    \hspace{2cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\text{S }\textcolor{violet}{+ }\text{w}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{S}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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