E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une commune compte $800$ habitants au début de l’année 2019. Le maire prévoit une baisse de $2 \%$ par an du nombre d’habitants à partir de 2019.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants $n$ années après 2019. Ainsi, $u_0 = 800$ et pour tout entier naturel, $u_{n+1} = 0,98u_n$.

  1. Calculer $u_1$ et préciser ce que cette valeur représente dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ainsi que sa raison.
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Calculer une valeur approchée, à l’entier près, du nombre d’habitants dans cette commune en 2025.
    $\quad$
  5. Recopier et compléter sur la copie la fonction écrite en langage Python ci-dessous, afin qu’elle permette de calculer, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def u(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(1, $\ldots$):}\hspace{1cm}\\
    \hspace{2cm}\text{u = $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=0,98\times 800\\
    &=784\end{align*}$
    La commune comptait $784$ habitants au début de l’année 2020.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,98u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $u_0=800$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=800\times 0,98^n$.
    $\quad$
  4. En 2025, on a $n=26$.
    Or
    $\begin{align*}u_{26} &=800\times 0,98^{26} \\
    &\approx 473\end{align*}$
    En 2025, il y aura environ $473$ habitants dans la commune.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def u(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{u = 800}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(1, n+1):}\hspace{1cm}\\
    \hspace{2cm}\text{u = 0.98 * n}\\
    \hspace{1cm}\text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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