E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 1995, le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans atteignait $84,8 \%$, du fait d’une forte progression de la poursuite d’études dans le second cycle général et technologique jusqu’au baccalauréat.
Une étude de l’INSEE montre que ce taux de scolarisation a régulièrement diminué au cours des dix années suivantes.

On considère que la diminution du taux de scolarisation à 18 ans est chaque année de $1 \% à partir de 1995.

Pour tout entier naturel $n$, on modélise le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 1995$+n$, par une suite $\left(u_n\right)$ ; ainsi $u_0 = 84,8$

  1. Quel est le taux de scolarisation des jeunes âgés de 18 ans en 1996 ?
    $\quad$
  2. Déterminer, en justifiant, la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. On donne le programme suivant en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{U=84.8}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while U > 80:}\\
    \hspace{1cm}\text{U=0.99*U}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Déterminer la valeur numérique que contient la variable $\text{n}$ à l’issue de l’exécution du programme. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
  4. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  5. Quel est le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times 84,8 &=0,99\times 84,8\\
    &=83,952\end{align*}$
    Le taux de scolarisation des jeunes âgés de 18 ans en 1996 était de $93,952\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1}{100}\right)\times  u_n\\
    &=0,99u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,99$ et de premier terme $u_0=84,8$.
    $\quad$
  3. Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$ près, de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~n~ &~0~&~1~& ~2~& ~3~& ~4~& ~5~& ~6~\\
    \hline
    U& 84,8& 83,95& 83,11& 82,28& 81,46& 80,64 &79,84\\
    \hline\end{array}$$
    Ainsi, à l’issue de l’exécution du programme, la variable $\text{n}$ contient la valeur $6$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,99$ et de premier terme $u_0=84,8$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=84,8\times 0,99^n$.
    $\quad$
  5. En 2005, on a $n=10$.
    Or
    $\begin{align*} u_{10}&=84,8\times 0,99^{10} \\
    &\approx 76,69\end{align*}$
    Le taux de scolarisation des jeunes de 18 ans en 2005 était d’environ $76,69\%$.
    $\quad$

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$\quad$

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