E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À l’issue d’une étude conduite pendant plusieurs années, on modélise l’évolution du prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans une ville française de la manière suivante :
À partir d’un prix de $4~200$ € le m$^2$ en 2019, on applique chaque année une augmentation annuelle de $3 \%$ .

  1. Avec ce modèle, montrer que le prix du m² d’un appartement neuf dans cette ville en 2021 serait de $4~455,78$ €.
    $\quad$
  2. On considère la suite de terme général 𝑢𝑛 qui permet d’estimer, avec ce modèle, le prix en euro du m$^2$ d’un appartement neuf l’année 2019$+n$. On a donc $u_0=4~200$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? En préciser la raison.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle, pourra-t-on acheter en 2024, un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ € ?
    $\quad$
  3. On définit, en langage Python, la fonction seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les lignes $5$ et $7$ de sorte que cette fonction renvoie le nombre d’années nécessaires pour que, selon ce modèle, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dépasse $8~000$ €.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2020, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
    $\begin{align*} 4~200\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~200 \\
    &=4~326\end{align*}$
    En 2020, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
    $\begin{align*} 4~326\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~326 \\
    &=4~455,78\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n\\
    &=1,03u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=4~200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=4~200\times 1,03^n$.
    $\quad$
    c. En 2024 on a $n=5$.
    Le prix du m$^2$ sera  $u_5=4~200\times 1,03^5$
    Ainsi l’appartement de $40$ m$^2$ coûtera :
    $\begin{align*} P&=40u_5 \\
    &=40\times 4~200\times 1,03^5 \\
    &\approx 194~758\\
    &<200~000\end{align*}$
    Selon ce modèle on pourra acheter en 2024 un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ €.
    $\quad$
  3. On obtient la fonction :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\text{u}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.03}\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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