E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ et $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ définies par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$ et $v_n=u_n-6$.

  1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$,  exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On note $S=v_0+v_1+\ldots+v_{100}$ la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$.
    a. Déterminer la valeur de $S$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice
  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-6 \\
    &=0,5u_n+3-6\\
    &=0,5u_n-3\\
    &=0,5\left(u_n-6\right)\\
    &=0,5v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0=u_0-6=1$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1\times 0,5^n$ soit $v_n=0,5^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+6\\
    &=0,5^n+6\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} S&=\dfrac{1-0,5^{101}}{1-0,5}\\
    &=2\left(1-0,5^{101}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. La somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ est :
    $\begin{align*} S’&=S+101\times 6 \\
    &=2\left(1-0,5^{101}\right)+606\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

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