E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1$\ier $ janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

  • Contrat n°1 : le loyer augmente chaque année de $200$ €.
  • Contrat n°2 : le loyer augmente chaque année de $5 \%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°1.
  • $v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°2.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $3~600$ €. On a donc $u_0 = v_0 = 3~600$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(v_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  3. On considère le script suivant, écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 3600}\\
    \text{v = 3600}\\
    \text{n = 0}\\
    \text{while u>=v :}\\
    \hspace{1cm}\text{u = u + 200}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 1.05*v}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. En 2021, le loyer sera de $3~600+200=3~800$ € pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+200$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $200$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3~600+200n$.
    Ainsi en 2030, $n=10$
    Donc
    $\begin{align*}u_{10}&=3~600+200\times 10\\
    &=5~600\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. En 2021, le loyer sera de $3~600\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=3~780$ € pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &= 1,05u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~600\times 1,05^n$
    En 2030, $n=10$
    $\begin{align*} u_{10}&=3~600\times 1,05^{10}\\
    &\approx 5~864,02\end{align*}$
    Le loyer annuel sera environ égal à $5~864,02$ € en 2030.
    $\quad$
  3. Il faut donc $6$ ans pour que le loyer annuel du contrat n°2 soit supérieur à celui du contrat n°1.
    $\quad$

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$\quad$

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