E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le président d’un club de handball a constaté une augmentation du nombre d’adhérents dans son club depuis 2016 (toutes catégories confondues). En effet en 2016, il y avait $377$ adhérents, $396$ en 2017 et $416$ en 2018. Ce qui correspond à une hausse chaque année d’environ $5 \%$.
Il souhaite faire une estimation pour les années à venir, en supposant que cette hausse de $5 \%$ par an se poursuit.
On modélise le nombre d’adhérents l’année 2018$+n$ par la suite de terme général $u_n$.
On a donc $u_0 = 416$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir les résultats à l’unité.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
  3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. Calculer $u_7$. Interpréter ce résultat par rapport aux données de l’énoncé.
    $\quad$
  5. À partir de quelle année le président du club peut-il espérer dépasser les $700$ adhérents ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_0 \\
    &=1,05\times 416 \\
    &=436,8\\
    &\approx 437\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_1 \\
    &=1,05\times 436,8 \\
    &=458,64\\
    &\approx 459\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &=1,05\times u_n \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=416$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=416\times 1,05^n$.
    $\quad$
  4. Ainsi $u_7=416\times 1,05^7\approx 585$.
    En 2025 le nombre d’adhérents sera environ égal à $585$.
    $\quad$
  5. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>700$.
    On a $1,05>1$ et $u_0>0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    On a $u_{10}\approx 677$ et $u_{11}\approx 712$.
    C’est donc à partir de 2029 que le président du club peut espérer dépasser les $700$ adhérents.
    $\quad$

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$\quad$

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