E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère qu’en 2019, $3~300~000$ personnes étaient atteintes de diabète en France.
Pour étudier l’évolution de la maladie, des chercheurs appliquent un modèle selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de $2\%$ par an.
On note $u_n$ le nombre de personnes atteintes de diabète en France selon ce modèle durant l’année (2019$+n$).On a donc $u_0=3~300~000$.

  1. Justifier que, selon ce modèle, le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~433~320$ en 2021.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. En déduire le nombre de personnes qui,selon ce modèle, seront atteintes de diabète en France en 2025.
    $\quad$
  5. On définit en langage Python la fonction suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(S):}\\
    \hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Green}{3300000}\\
    \hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    \hspace{1cm}\text{while u<S:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*}\textcolor{Green}{1.02}\hspace{3cm}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution dans la console on obtient l’affichage suivant .
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{>>> seuil(5000000)}\hspace{3cm}\\
    \textcolor{Green}{21}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2020 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~300~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~366~000$.
    En 2021 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~366~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~433~320$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right) u_n\\
    &=1,02u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=3~300~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~300~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
  4. En 2025 on a $n=6$.
    $u_6=3~300~000\times 1,02^6\approx 3~716~336$
    Environ $3~716~336$ personnes seront atteintes de diabète en France en 2020 selon ce modèle.
    $\quad$
  5. Le nombre de personnes atteintes de diabète en France dépassera pour la première fois $5~000~000$ en 2040.
    $\quad$

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$\quad$

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