Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
$\quad$
Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
$\quad$
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
$\quad$
Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
Le troisième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Le quatrième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
$\quad$
$3$ ans $=36$ mois.
On a :
$\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
&=375\end{align*}$
Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
&=10~350\end{align*}$
Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
&\approx 10~398,87\end{align*}$
C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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