E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

  1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
    $\quad$
  2. Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
    $\quad$
    b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
    Le troisième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
    $\quad$
  2. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le quatrième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=216,4032$€.
    La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $216,4032$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
    $\quad$
  4. $3$ ans $=36$ mois.
    On a :
    $\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
    &=375\end{align*}$
    Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
    &=10~350\end{align*}$
    Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
    &\approx 10~398,87\end{align*}$
    C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
    $\quad$

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$\quad$

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