E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

  1. Pour $n\pg 2$, on considère la fonction Python suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def saut(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{s=8}\\
    \hspace{1cm}\text{for k in range(2,n+1):}\\
    \hspace{2cm}\text{s=s+0.1}\\
    \hspace{1cm}\text{return s}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle valeur $\text{s}$ est-elle renvoyée par la commande $\text{saut(4)}$ ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
    a. À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ?
    $\quad$
    b. Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La variable $\text{s}$ prend successivement les valeurs suivantes : $8$; $8,1$; $8,2$; $8,3$.
    La commande $\text{saut(4)}$ renvoie donc la valeur $8,3$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que Fanny réalise un saut de $8,3$ m lors de sa quatrième semaine d’entraînement.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $s_{n+1}=s_n+0,1$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,1$ et de raison $s_1=8$.
    Par conséquent, pour tout entier $n$ non nul on a $s_n=8+0,1(n-1)$.
    $\quad$
  3. a. et b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 12&\ssi 8+0,1(n-1)\pg 12 \\
    &\ssi 0,1(n-1)\pg 4 \\
    &\ssi n-1\pg 40 \\
    &\ssi n\pg 41\end{align*}$
    Elle réalisera donc un saut d’au moins $12$ mètres à partir de la $41\ieme$ semaine.
    $\quad$

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$\quad$

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