E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1$\ier$ janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà $10$ ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ $4 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année 2019 $+n$ à l’aide du $n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison
    $\quad$.
  2. On considère la fonction $\text{Suite}$ définie ci-dessous en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textcolor{Aquamarine}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Suite(n):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{2}&\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{900}\\
    \textcolor{Aquamarine}{3}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{4}&\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0.96}\text{*u}\\
    \textcolor{Aquamarine}{5}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\\
    \hline\end{array}$$
    Quelle sera la valeur obtenue pour $\text{Suite(5)} ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Le directeur sait que la maternité devra fermer dès le nombre d’accouchements deviendra inférieur à $600$.
    Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
    $\quad$
  5. Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_n \\
    &=0,96u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$. et de premier terme $u_0=900$.
    $\quad$
  2. L’appel $\text{Suite(5)}$ renvoie la valeur de $u_5$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    Donc $u_5=900\times 0,96^5 \approx 734$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    $\quad$
  4. En 2030, on a $n=11$.
    $u_{11}=900\times 0,96^{11}\approx 574$
    Ainsi, $u_{11}<600$
    La maternité sera donc fermée en 2030.
    $\quad$
  5. $0<0,96<1$ et $u_0>300$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $u_9\approx  623$ et $u_{10}\approx 598$
    Ainsi la maternité fermera ses portes en 2029.
    $\quad$

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$\quad$

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