Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
$\quad$
c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
$\quad$
d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
$\quad$
Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}h_0 \\
&=0,8\times 2\\
&=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}h_1 \\
&=0,8\times 1,6\\
&=1,28\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
$\quad$
c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $h_0=2$.
$\quad$
d. On a $0<0,8<1$ et $h_0>0$.
La suite $\left(h_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $h_n<0,2$.
D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
On a $h_{10}\approx 0,21$ et $h_{11}\approx 0,17$.
Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
$\quad$

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$\quad$

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