E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\dfrac{n+2}{n+1}$.

  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ puis $u_{99}$.
    $\quad$
  2. a. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n-1$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$$
    $\quad$
    c. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $a$ un nombre réel dans l’intervalle $]1 ; 2]$.
    Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp a$, où $a$ est un nombre de l’intervalle $]1 ; 2]$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)} \ldots \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = }\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{return } \ldots\end{array}$$
    Attention le programme original avait des erreurs. Elle sont corrigés ici.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_0&=\dfrac{0+2}{0+1} \\
    &=2\end{align*}$
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1+2}{1+1} \\
    &=1,5\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{2+2}{2+1} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_{99}&=\dfrac{99+2}{99+1} \\
    &=1,01\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n-1&=\dfrac{n+2}{n+1}-1\\
    &=\dfrac{n+2-n-1}{n+1}\\
    &=\dfrac{1}{n+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1+2}{n+1+1}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{n+3}{n+2}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{(n+3)(n+1)-(n+2)^2}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+n+3n+3-\left(n^2+4n+4\right)}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+4n+3-n^2-4n-4}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $(n+1)(n+2)>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  3. On a le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)}> \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1cm} \text{return n} \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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