Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

$1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
$2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

On considère la feuille de calcul ci-dessous :

Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
$\quad$
b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
$\quad$
c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
\hline
w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
\hline
\end{array}$$
À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a pu saisir $=B2*1,03$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
$\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
&=1~000+40n-40\\
&=960+40n\end{align*}$
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
$\quad$
D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation semble devenir supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
Remarque : Le tableau ne fournissant pas les valeurs de $w_n$ entre $n=3$ et $n=18$, il faudrait une étude plus précise de la suite $\left(w_n\right)$ ou le calcul des termes manquants pour établir avec certitude que ce rang est effectivement le premier.
$\quad$

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$\quad$

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