E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le 1$\ier$ janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à $650$ euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1$\ier$ janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$
le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier de l’année (2019 $+ n$), pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

  1. a. Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier 2020.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
    $\quad$
  2. Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2019$+\text{A}$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1& \textbf{def somme(A):}\\
    2& \hspace{1cm}\textbf{S=0}\\
    3& \hspace{1cm}\textbf{n=0}\\
    4& \hspace{1cm}\textbf{while n<=A:}\\
    5& \hspace{2cm}\textbf{S=S+7800*1.0152**n}\\
    6& \hspace{2cm}\textbf{n = n + 1}\\
    7& \hspace{1cm}\textbf{return S}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de $\text{A}$ donne les résultats ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{7800.0}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{15718.560000000001}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{23757.482112000005}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{31918.595840102407}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{8}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{74623.04180934158}
    \end{array}$$
    a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel $\text{somme(1)}$.
    $\quad$
    b. Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Au 1$\ier$ janvier 2020, le loyer est de $650\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right)=659,88$ euros.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right) \\
    &=1,0152u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=650\times 1,0152^n$.
    En 2027, on a $n=8$.
    $u_8=650\times 1,0152^8\approx 733,38$
    En 2027, le loyer sera, selon ce modère, environ égal à $733,38$ euros.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de la somme totale des loyers perçus en 2019 et 2020.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=3$ et en 2027 on a $n=8$.
    Ainsi la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 est :
    $\begin{align*} S&=\text{somme(8)}-\text{somme(2)} \\
    &=74623.04180934158-23757.482112000005\\
    &\approx 50~866\end{align*}$

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$\quad$

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