Suites

E3C2 – 1ère

L’évolution d’une population de bactéries dépend de l’environnement dans lequel ces bactéries sont placées. Cette population peut être modélisée par la suite $\left(P_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $P_{n+1}=(1+\alpha)P_n+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres liés à l’environnement, notamment à la température et à l’humidité.
$P_n$ modélise alors le nombre de bactéries, en milliers, qui composent cette population $n$ jours après les avoir introduites dans un certain environnement.

Une population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un environnement pour lequel $\alpha = 0,2$ et $\beta = 70$.
a. Combien y a-t-il de bactéries dans cet environnement au bout de deux jours ?
$\quad$
b. Recopier et compléter le programme suivant, écrit en langage Python, pour que la fonction $\text{Nombrebacteries}$ renvoie le nombre de bactéries présentes dans cet environnement au bout de $\text{N}$ jours.
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\end{array}$$
$\quad$
Une autre population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un nouvel environnement. On constate que le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
a. Déterminer les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ pour cet environnement.
$\quad$
b. Quelle est, dans ce cas, la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ?
$\quad$
c. Justifier qu’après $9$ jours dans cet environnement, le nombre de bactéries de cette population a doublé.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} P_1&=(1+0,2)P_0+70\\
&=1,2\times 500+70\\
&=670\end{align*}$
$\begin{align*} P_2&=(1+0,2)P_1+70\\
&=1,2\times 670+70\\
&=874\end{align*}$
Au bout de deux jours, il y aura donc $874$ milliers de bactéries.
$\quad$
b. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\text{P}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.2}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{70}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{P}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1000}\end{array}$$
$\quad$
a. Le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $P_{n+1}=1,09P_n$.
Ainsi $\alpha=0,09$ et $\beta=0$.
$\quad$
b. La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $P_0=500$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=500\times 1,09^n$.
$P_9=500\times 1,09^9 \approx 1~086$
Par conséquent $P_9>2P_0$
Le nombre de bactéries de cette population a doublé.
$\quad$

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$\quad$

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