E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir $100~000$ ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1$\ier$
janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de $35~000$ ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de $7~000$ ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer $5\%$ des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter $6~000$ ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+n$).
On donne $u_0 = 42$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n\times 0,95+6$.
    2. On propose ci-dessous un programme en
    langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=42}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(n) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.95*u+6}\\
    \hspace{1cm}\text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
    $\quad$

Partie B

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que $4~000$ nouveaux ouvrages par an au lieu des $6~000$ prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+ n$).

  1. On admet que $v_{n+1}=0,95\times v_n+4$ pour tout entier naturel $n\pg 0$ avec $v_0=42$.
    On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=v_n-80$.
    a. Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous un programme en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def objet(A) :}\\
    \hspace{1cm}\text{v=42}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while v<A :}\\
    \hspace{2cm}\text{v=0.95*v+4}\\
    \hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’appel à la fonction $\text{objet(70)}$ renvoie $27$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_n+6\\
    &=0,95u_n+6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ce programme permet de déterminer la valeur de $u_n$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-80 \\
    &=0,95v_n+4-80\\
    &=0,95v_n-76\\
    &=0,95v_n-0,95\times 80\\
    &=0,95\left(v_n-80\right)\\
    &=0,95w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=v_0-80$ soit $w_0=-38$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-38\times 0,95^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_n&=w_n+80 \\
    &=80-38\times 0,95^n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Cela signifie que c’est à partir de 2047 que la bibliothèque possèdera plus de $70~000$ ouvrages.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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