Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
$\quad$
Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
$\quad$
On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
Préciser la nature de cette suite et sa raison.
$\quad$
Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
$\quad$
Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
$\quad$
On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
$\quad$
On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_1=12$.
Pour tout entier naturel on a :
$\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_1=12$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^{n-1}$.
En 2020 on a $n=5$.
Par conséquent $u_5=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= A*}\textcolor{Emerald}{1.15}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

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$\quad$

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