E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

  1. Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
    $\quad$
  4. On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def bacteries(N) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=10000}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
    \hspace{1cm}\text{return u }\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
    \hline
    \text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  5. Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
    $\quad$
  2. voir question précédente
    $\quad$
  3. On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
    Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
    $\quad$
  4. Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
    Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$.
    $\quad$

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$\quad$

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