Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

1. Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
   $\quad$
2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
3. Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
   $\quad$
4. On considère la fonction suivante définie en langage Python.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def bacteries(N) :}\\
   \hspace{1cm}\text{u=10000}\\
   \hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
   \hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
   \hspace{1cm}\text{return u }\\
   \hline
   \end{array}$$
   On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
   \hline
   \text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
   $\quad$
5. Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
   $\quad$

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