E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant l’été, une piscine extérieure perd chaque semaine $4 \%$ de son volume d’eau par évaporation. On étudie ici un bassin qui contient $80$ m$^3$ après son remplissage.

  1. Montrer par un calcul que ce bassin contient $76,8$ m$^3$ d’eau une semaine après son remplissage.
    $\quad$
  2. On ne rajoute pas d’eau dans le bassin et l’eau continue à s’évaporer. On modélise le volume d’eau contenue dans la piscine par une suite $\left(V_n\right)$ : pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la quantité d’eau en m$^3$ contenue dans la piscine $n$ semaines après son remplissage. Ainsi $V_0=80$.
    a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0,96V_n$ et préciser la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi définie.
    $\quad$
    b. Donner une expression de $V_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Quelle quantité d’eau contient le bassin au bout de $7$ semaines ?
    $\quad$
  3. Pour compenser en partie les pertes d’eau provoquées par l’évaporation, on décide de rajouter $2$ m d’eau chaque semaine dans le bassin. On souhaite déterminer au bout de
    combien de semaines, le volume d’eau contenu dans la piscine devient inférieur à $70$ m$^3$.
    Compléter la fonction Python suivante afin que l’appel $\text{nombreJour(70)}$ renvoie le nombre de semaines à partir duquel le volume d’eau de la piscine sera inférieur à $70$ m$^3$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreJour(U) :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$ >= $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
    \hspace{1cm}\text{V=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return $\ldots$}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Une semaine après son remplissage,le volume d’eau, en m$^3$, contenu dans le bassin est :
    $\begin{align*} V&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)\times 80\\
    &=0,96\times 80\\
    &=76,8\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} V_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right) V_n\\
    &=0,96V_n\end{align*}$
    La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $V_0=80$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=80\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. $V_7=80\times 0,96^7 \approx 60,12$.
    Au bout de $7$ semaines, le bassin contient $60,12$ m$^3$ d’eau.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nombreJour(U) :}\\
    \hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
    \hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
    \hspace{0.5cm}\text{while V >= 70 :}\\
    \hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
    \hspace{1cm}\text{V=0.96*V}\\
    \hspace{0.5cm}\text{return N}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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