E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir $2~000$ km à pied. Il peut parcourir $50$ km en une journée, mais, la fatigue s’accumulant, la distance qu’il parcourt diminue de $2\%$ chaque nouvelle journée.
On note la distance $D_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
Le premier jour de son périple, il parcourt donc $D_1 = 50$ km.

  1. Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(D_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, déterminer l’expression de $D_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on a écrit le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots$:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= $\ldots\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.
    $\quad$
  5. À l’aide de l’extrait de tableur ci-dessous, déterminer
    quand le globe-trotter aura atteint son objectif.

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième jour, il a parcouru $50\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=49$ km.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} D_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)D_n\\
    &=0,98D_n\end{align*}$
    La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $D_1=50$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $D_n=50\times 50^{n-1}$.
    $\quad$
  4. On obtient le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def nb_jours:}\\
    \hspace{1cm}\text{j=1}\\
    \hspace{1cm}\text{u=50}\\
    \hspace{1cm}\text{S=50}\\
    \hspace{1cm}\text{while S<2000:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
    \hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
    \hspace{2cm}\text{j= j+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return j}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. D’après le tableur, le globe-trotter atteindra son objectif au bout de $80$ jours.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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