E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d’une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.

Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de 120~ 000. Ce nombre augmenterait ensuite de $2\%$ chaque semaine.

Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins $400~000$ visionnages par semaine.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = 120~000$.

  1. Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=120~000\times 1,02^n$
    $\quad$
  3. À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à $150~000$ ?
    $\quad$
  4. Voici un algorithme écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{l}
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textcolor{BlueGreen}{\text{seuil}}\textcolor{Mahogany}{\text{():}}\\
    \hspace{1cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{120000}}\\
    \hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{0}}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }} \text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{<}}\textcolor{BlueGreen}{\text{400000}}\\
    \hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{+}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1}}\\
    \hspace{2cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1.02}}\textcolor{Mahogany}{\text{*}}\text{u}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}
    \end{array}$$
    Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. On pose pour tout entier naturel $n$ : $S_n=u_0+\ldots+u_n$. Montrer que l’on a :
    $$S_n=6~000~000\times \left(1,02^{n+1}-1\right)$$
    Puis en déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à l’unité).
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times u_0\\
    &=1,02\times 120~000\\
    &=122~400\end{align*}$
    Il y a eu $122~400$ visionnages une semaine après le début de la diffusion.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=120~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=120~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
  3. Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$, prises par la suite $\left(u_n\right)$
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& u_n\\
    \hline
    0 &120~000\\
    \hline
    1 &122~400\\
    \hline
    2 &124~848\\
    \hline
    3 &127~344,96\\
    \hline
    4 &129~891,86\\
    \hline
    5 &132~489,70\\
    \hline
    6 &135~139,49\\
    \hline
    7 &137~842,28\\
    \hline
    8 &140~599,13\\
    \hline
    9 &143~411,11\\
    \hline
    10 &146~279,33\\
    \hline
    11 &149~204,92\\
    \hline
    12 &152~189,02\\
    \hline
    \end{array}$$
    C’est donc après $12$ semaines que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $150~000$.
    $\quad$
  4. L’algorithme détermine le plus petit rang de la suite $\left(u_n\right)$ tel que $u_n\pg 400~000$.
    On a $u_{60} \approx 393~732,70$ et $u_{61}\approx 401~598,17$
    C’est donc à partir de la $61\ieme$ semaine que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $400~000$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n\\
    &=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02}\\
    &=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{-0,02}\\
    &=6~000~000\left(1,102^{n+1}-1\right)\end{align*}$
    On a
    $\begin{align*} S_{52}&=6~000~000\left(1,02^{53}-1\right)\\
    &\approx 11~138~008\end{align*}$
    Le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines est environ égal à $11~138~008$.
    $\quad$

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