E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $10~500$ €. La valeur de cette voiture a baissé de $14 \%$ par an.

  1. La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+𝑛$. On a donc $P_0 = 10~500$.
    a. Déterminer la nature de la suite $\left(P_n\right)$.
    $\quad$
    b. Quelle était la valeur de cette voiture en 2010 ?
    $\quad$
  2. Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $1~500$ €. Pour l’aider, on réalise le programme Python incomplet ci-dessous.
    a. Recopier et compléter sur votre copie les deux parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P} \ldots\ldots\ldots\ldots :\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=}\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{14}{100}\right)P_n\\
    &=0,86P_n\end{align*}$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,86$ et de premier terme $P_0=10~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=10~500\times 0,86^n$
    $\begin{align*} P_8&=10~500\times 0,86^8\\
    &\approx 3~141,79\end{align*}$
    La voiture valait environ $3~141,79$ euros en 2010.µ
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P>=1500}:\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=0,86*P}\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. $0<0,86<1$ et $P_0>0$.
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc décroissante.
    $P_{12}\approx 1~718,6$ et $P_{13}\approx 1~478,0$
    Ainsi le programme renvoie la valeur $2015$.
    $\quad$

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$\quad$

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