E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi $300$ m² des champs d’une région.
Chaque semaine, la surface envahie augmente de $5 \%$ par le développement des racines, auquel s’ajoutent $15$ m² suite à la dissémination des graines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en m$^2$, après $n$ semaines ; on a donc $u_0 = 300$ m$^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie, n’est ni arithmétique ni géométrique.
    $\quad$
    On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$.
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n + 300$.
    a. Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q= 1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = 600 \times 1,05^n-300$.
    $\quad$
  3. Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_0+15\\
    &=1,05\times 300+15\\
    &=330\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_1+15\\
    &=1,05\times 330+15\\
    &=361,5\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $u_1-u_0=30$ et $u_2-u_1=31,5$.
    Les différences ne sont pas égales : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{u_1}{u_0}=1,1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,092$
    Les quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_0&=u_0+300\\
    &=300+300\\
    &=600\end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+300\ssi u_n=v_n-300$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+300\\
    &=1,02u_n+15+300\\
    &=1,05\left(v_n-300\right)+315\\
    &=1,05v_n-315+315\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=600\times 1,05^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_n&=v_n-300\\
    &=600\times 1,05^n-300\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} u_8&=600\times 1,05^8-300 \\
    &\approx 586,47\end{align*}$
    Par conséquent $u_8<2\times u_0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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